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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}


\textbf{\Large Exercice 3 \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Évolution d’une population bactérienne dans un milieu fermé}

\medskip

On étudie l’évolution d’une population de bactéries introduite dans un milieu nutritif fermé.  
On note $t$ le temps (en heures) écoulé depuis l’introduction des bactéries.

On modélise la densité de population (en millions de bactéries par millilitre) par une fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$.

\medskip

\textbf{Partie A : Approche expérimentale et lectures graphiques}

\medskip

On dispose de la représentation graphique de la fonction $f$, obtenue à partir de mesures expérimentales.

\begin{center}
	\psset{unit=1.6cm,arrowsize=2pt 3}
	\begin{pspicture*}(-0.5,-0.6)(7.5,2.5)
		\psgrid[gridlabels=0pt](0,0)(7.5,2.15)
		\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(7.5,2.4)
		\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7.5}{5 x mul 2.71828 x exp div}
		\uput[d](6.8,-.2){\footnotesize temps (en heures)}
		\uput[r](0,2.4){\footnotesize population (millions/mL)}
	\end{pspicture*}
\end{center}

À l’aide du graphique (et avec la précision permise par celui-ci), répondre aux questions suivantes :

\begin{enumerate}
	\item Déterminer le temps auquel la population semble maximale.
	\item Déterminer les instants pour lesquels la population dépasse 1 million de bactéries par millilitre.
	\item Décrire l’évolution de la courbure de la courbe sur l’intervalle $[0~;~8]$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Mise en place du modèle mathématique}

\medskip

On admet que la fonction $f$ vérifie l’équation différentielle suivante :

\[
(E) : \quad y' + y = 5\e^{-t}
\]

où $y$ est une fonction définie et dérivable sur $[0~;~+ \infty[$.

\begin{enumerate}
	\item Résoudre l’équation homogène associée :
	\[
	(E') : \quad y' + y = 0.
	\]
	
	\item On cherche une solution particulière de $(E)$ sous la forme  
	\[
	u(t) = at\e^{-t}, \quad \text{où } a \in \mathbb{R}.
	\]  
	Déterminer la valeur de $a$ pour que $u$ soit solution de $(E)$.
	
	\item En déduire l’ensemble des solutions de $(E)$.
	
	\item On suppose qu’au moment initial, la population est nulle ($f(0) = 0$).  
	Déterminer l’expression de $f$.
\end{enumerate}

\goodbreak

\textbf{Partie C : Exploitation du modèle}

\medskip

On admet désormais que :
\[
f(t) = 5t \e^{-t}.
\]

\begin{enumerate}
	\item Déterminer la limite de $f(t)$ lorsque $t \to +\infty$ et interpréter ce résultat dans le contexte.
	
	\item Étudier les variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$ puis dresser son tableau de variation.  
	En déduire la valeur du maximum et le temps auquel il est atteint.
	
	\item Montrer que l’équation $f(t) = 1$ admet deux solutions $t_1$ et $t_2$.  
	Donner une valeur approchée de ces solutions à $10^{-2}$ près.
	
	\item Déterminer la durée pendant laquelle la population dépasse 1 million de bactéries par millilitre.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie D : Population moyenne}

\medskip

On s’intéresse à la population moyenne durant la première heure.

Cette valeur est donnée par :
\[
P_m = \int_0^1 f(t)\,\mathrm{d}t.
\]

\begin{enumerate}
	\item Calculer la valeur exacte de $P_m$.
	\item Donner une valeur approchée à $0{,}01$ près.
	\item Interpréter ce résultat dans le contexte.
\end{enumerate}

\end{document}